Geometrie Jahrgangsstufe 5

Im Rahmen der Kooperation der Kollegen, die im Schuljahr 1997/98 in der fünften Jahrgangstufe Mathematik am Philippinum in Weilburg unterrichteten, wurde von Frau von Piechowski diese Dokumentation erstellt. Die Unterrichtseinheit wurde von mir als Einstieg in den Mathematikunterricht im fünften Schuljahr 1997/98 durchgeführt und aus Schülerheften "rekonstruiert". Die Abbildungen sind aus Schülerheften eingescannt.

Aufgabe I – Auf der Wiese

Michael steht allein auf der Wiese. Ein Schüler stellt sich ungefähr vier Meter von Michael entfernt hin. Immer mehr Schüler sollen sich im gleichen Abstand zu Michael aufstellen.

Es entsteht ein Kreis.
 
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt den gleichen Abstand haben.

Aufgabe II – Auf der Wiese

Florian und Edith stehen auf der Wiese, ungefähr vier Meter voneinander entfernt. Immer mehr Schüler sollen sich so hinstellen, dass sie von Florian und Edith genauso weit eintfernt sind.

Beim Aufstellen der Schüler haben wir gesehen, dass alle Schüler in einer Linie zwischen Florian und Edith standen.

Wie lässt sich mit einem Seil prüfen, ob z.B. Christoph von Florian und Edith den gleichen Abstand hat?

Christoph muss das Seil an einem Ende festhalten. Sebastian, unser Abstandsmesser, spannt das Seil zu Edith und geht mit gespanntem Seil zu Florian. Sebastian bewegt sich dabei auf einem Kreisbogen um Christoph.

Auswertung an der Tafel

Der Zirkel ersetzt unser Seil. – So können wir die draußen gestellten Aufgaben zeichnen.

  1. Kreis – klar...
  2. Mittelsenkrechte schwieriger... Von jedem Schüler, zum Beispiel Christoph, muss der Kreisbogen durch die Punkte für Florian und Edith (F und E) gehen. Dann müssen sich aber auch umgekehrt bei gleichem Radius (Seillänge) die Kreise um F und E in C(hristoph) schneiden.

Zum Zeichnen der Mittelsenkrechten suchen wir mit dem Zirkel zwei Punkte, die von Florian und Edith gleichen Abstand haben. Durch diese beiden Punkt verläuft die Linie.

Die Mittelsenkrechte von A und B ist die Menge aller Punkte, die zu den beiden Punkten A und B gleichen Abstand haben.

Aufgabe III – Festigung des Umkehrschlusses für die Mittelsenkrechte  

  1. Zeichne einen Punkt M.
  2. Stelle den Zirkel auf 5cm ein.
  3. Zeichne einen Kreis um M.
  4. Wähle auf dem Kreis zwei Punkte A und B.
  5. Zeichne zu A und B die Mittelsenkrechte.

 

 

Auswertung: Die Mittelsenkrechte muss durch M gehen. A und B sind nämlich gleichweit von M entfernt, weil sie auf einem Kreis um M liegen. Dann hat umgekehrt M gleichen Abstand zu A und B, liegt also auf der Mittelsenkrechten.

 

Erklärungen zum genauen Zeichnen

  1. Zirkelmine auf Schmirgelpapier schräg anschleifen
  2. Geodreieck nie genau auf die zu verbindenden Punkte legen.
  3. An Tafel gemalt und mit großen Zirkel vorgeführt "Vergrößerung" zweier Linien – Kreide quer genommen Je nach Stift – Geodreieck neben den Punkt

    Genauigkeit ist Gefühlssache, das Geodreieck muss immer etwas neben den Punkt gelegt werden, damit die Linie "genau" durch den Punkt verläuft. Dies gelingt dann auch mit unterschiedlichen Stiften.

    Aufgabe IV - Übungen zum genauen Zeichnen

    1 a) Zeichne zwei Strecken.
    b) Verlängere beide Strecken.

    2 a) Zeichne einen Punkt.
    b) Zeichne viele Linien durch diesen Punkt.

    Aufgaben mehrfach zur Übung gestellt – ästhetische Resultate

    Aufgabe V

    Konstruktion:

    1. Zeichne einen möglichst großen Kreis auf einem leeren Blatt und lasse den Zirkel so eingestellt.

    2. Stich nun auf dem Kreis möglichst genau oben ein und markiere auf dem Kreis einen weiteren Punkt, von diesen neuen Punkt aus noch einmal - usw.

    3. Verbinde die gegenüberliegenden Punkte und die benachbarten.

    4. Markiere außerhalb des Kreises bei jedem der 6 Dreiecke abwechselnd eine Drehrichtung.

    5. a) Wähle ein Dreieck aus. Markiere von jeder Ecke aus 1cm auf der Dreieckseite in Drehrichtung.
      b) Verbinde die drei Punkte und wiederhole das Abgreifen von 1cm im neuen Dreieck.
      c) Fülle das Dreieck auf diese Weise aus.

    6. Wiederhole Anweisung 5 für die anderen Dreiecke.  

    Diese Aufgabe wurde an der Tafel "freihand" vorgeführt und erklärt, damit der Text wirklich verständlich wird. Schwierig genug blieb er – am Nachmittag bei der Hausaufgabe – immer noch. Über die Hausaufgabe für alle hinaus wurde anschließend ein Wettbewerb – Zeichnug auf DIN A3-Zeichenblock – durchgeführt, an dem sich zwei Drittel der Klasse beteiligten.

    Korrekt und recht sauber – leider schlecht zu scannen, da teilweise sehr leicht gezeichnet.

    Sehr sauber, aber Drehrichtung nicht durchgehend gewechselt.

     

    Senkrecht zu...

    Aufgabe VI

    1. Nimm einen Flummi oder einen Ball und suche eine schräge Fläche.
    2. Wirf so den Ball auf die Fläche, dass er möglichst genau in die Wurfhand zurück springt. Zeichne die Situation in das Heft (so wenig wie möglich) und überlege, wie man die Flugbahn genau zeichnen kann?

    Hier zeichneten die Schüler überwiegend ballistische Kurven, und es entwickelte sich eine lebhafte Diskussion, wie der Ball abspringt, wenn man fester wirft, und wohin man dann werfen muss, damit der Ball genau zurück in die Hand springt.

     Senkrecht zu..

    Im Alltag sagen wir oft "der Mast steht senkrecht." Wir meinen damit: Der Mast steht senkrecht zum Horizont.

     In der Mathematik können wir das Wort "senkrecht" nie ohne das Wort "zu" verwenden.
    "Die Flugrichtung des Balls ist senkrecht zur schrägen Fläche."

    Die Senkrechte wurde hier mit dem Geodreieck gezeichnet. Beide Formen (Zirkel/Geodreieck) standen meist nebeneinander. Beides sollte beherrscht werden.

     Natürlich wurde der rechte Winkel in diesem Zusammenhang auch gefaltet – Papier ohne gerade Kanten: einmal sorgfältig falten, und man erhält eine gerade Linie, ein "Lineal". Falten wir diese Kante bündig auf sich selbst, dann erhalten wir einen rechten Winkel.
     

    Aufgabe VII

    1. Zeichne auf eine leere Seite zwei Punkte A und B.
    2. Zeichne durch A eine Gerade und zeichne von B aus eine Senkrechte zu der Geraden.
    3. Wiederhole 2. oft.

     

    Wie immer Ergebnisse recht unterschiedlicher Qualität. Wiederholung nach ästhetischen Vorbildern...

    Problem: Zwischen zwei Punkten den Mittelpunkt finden.

    Dies machte den Schülern wenig Mühe. Als roter Faden zog sich durch den Unterricht, dass wir einen Kreis und eine Mittelsenkrechte zeichnen können und ihre Eigenschaften kennen und dass wir mit diesen Konstruktionen andere Probleme lösen können. 

    Problem: Lot fällen (Senkrechte von Punkt auf Gerade zeichnen).

    Wir müssen uns Punkte suchen, damit wir unsere Konstruktion einer Mittelsenkrechten durchführen können.
    A und B müssen gleichen Abstand zu P haben, damit die Mittelsenkrechte durch P verläuft.
    A und B müssen auf der Geraden liegen (für den richtigen Winkel).

     

     

    Aufgabe VIII

    Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit der Seitenlänge 5cm!

     

    Zuerst zweimal eine Senkrechte konstruiert...

    		  

    Dann nur eine und Längen ausgenutzt...

     

    Konstruktion eines Quadrates

    1. Strecke von 5cm Länge zeichnen
    2. Strecke verlängern (Hilfslinie)
    3. Zwei Punkte mit gleichem Abstand zu dem Endpunkt der Strecke mit Zirkel abgreifen
    4. Mittelsenkrechte zu diesen Punkten konstruieren (als Hilfslinie)
    5. 5cm auf der Mittelsenkrechten als zweite Seite des Quadrates zeichnen
    6. Zirkel auf 5cm einstellen und von den Enden der Strecke den vierten Endpunkt zeichnen

    Spiegelungen

    Als Einstieg diente das Segelboot, das anghängt wird. Nach anfänglichem Rätselraten, was dies denn sei, wurde das Blatt gefaltet und gegen das Licht gehalten.

    Hausaufgabe war es, das Bild zu ergänzen – egal mit welcher Methode.

    Konstruktion einer Spiegelachse

    Überlegung: Beim Falten sehen wir, dass ein Punkt P und sein Spiegelpunkt P’ aufeinanderfallen, wenn wir an der Spiegelachse knicken. Die Verbindungslinie von P und P’ steht dann senkrecht zu der Spiegelachse.

     

  4. Von P aus greifen wir mit dem Zirkel auf der Spiegelachse zwei Punkte A und B ab, und verändern den Radius nicht. (A und B haben gleichen Abstand von P, weil sie auf einem Kreis um P liegen. Umgekehrt hat P’ den gleichen Abstand von A und B. Also muß P auf der Mittelsenkrechten von A und B liegen.)
  5. Mit gleichem Radius zeichne ich auf der anderen Seite der Spiegelachse zwei Kreisbögen um A und B so, dass ich den zweiten Punkt P’ finde, der den gleichen Abstand von A und B hat. (P’ ist der Spiegelpunkt von P.)

 

Abschließend wurden noch Linien und Dreiecke gespiegelt. Dabei wurden auch die Arbeitsblätter eingesetzt, die auch hier geladen werden können.